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By Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield

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Der Fall £' ::; £ kann analog behandelt werden. 3(viii). 3(x). Andererseits erhalten wir aus £' < m die Ungleichungskette km ::; km + £ = k'm + t < k'm + m = (k' + l)m . 3 benutzt. Nun ergibt sieh aus Aussage (x) desselben Satzes k < k' + 1. 3(vi) nur flir k = k' moglich ist. 3 explizit angegeben. In zukunftigen Betraehtungen werden wir diese Rechenregeln ohne weitere Referenz benutzen. Das Induktionsprinzip Wir haben bereits mehrfaeh gewinnbringend das Induktionsaxiom (Nl) angewendet. , jede nichtleere Teilmenge von N besitzt ein Minimum.

11 Satz Es gibt hochstens ein neutrales Element beziigJich einer Verkniipfung. Beweis Es sei ® eine Verkniipfung auf X, und e sowie e' seien neutrale Elemente. Dann folgt e = e ® e' = e', was die Eindeutigkeit beweist. 12 Beispiel Es sei ® eine Verkniipfung auf der Menge Y, und X sei eine nichtleere Menge. Dann definieren wir die punktweise Verkniipfung auf Abb(X, Y), induziert durch ®, durch die Festsetzung (f 8 g)(x) := f(x) ® g(x) , xEX. Es ist klar, daB 8 eine Verkniipfung auf Abb(X, Y) ist.

H. fiir jede bijektive Abbildung a: {O, ... ,n} -+ {O, ... ,n}. I Grundlagen 46 (b) Es seien + und assoziative und kommutative Verkniipfungen auf X, welche das Distributivgesetz (x + y) . z = x . z + y . z fUr x, y, z E X erfiiIlen. Dann gelten folgende Rechenregeln: (a) ~~=o ak + ~~=o bk = ~~=o(ak + bk ); (13) I1~=o ak . I1~=o bk = I1~=o(ak . bk); ({) ~";:o aj . ~~=o bk = ~O~j~m (aj . bk). O~k~n Hierbei wird in der letzten Doppelsumme uber aIle moglichen Produkte aj . bk, o :::; j :::; m, 0:::; k :::; n, in einer beliebigen Reihenfolge summiert.

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