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By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was once ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben und Tipps zur Lösung. Die vollständigen, ausführlichen Lösungen zu den Übungsaufgaben findet guy auf der Verlagswebsite. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
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Sie ist sogar richtig, wie Sie jedem Lexikon entnehmen k¨onnen. Dagegen ist die Aussage Karl der Große xx/+ Donnerstag nicht sinnvoll – was soll der Unsinn denn heißen?? –, eine weitere Diskussion er¨ ubrigt sich damit. Nun kann man aus sinnvollen Aussagen neue sinnvolle Aussagen bilden, ben¨ otigt werden die Operationen und“, oder“, nicht“ und folgt“. 3. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 21 und Sind p und q sinnvolle Aussagen, so soll auch p und q“ betrachtet werden ” d¨ urfen, man schreibt daf¨ ur p ∧ q“.

Vi) Der Beweis ist sehr elegant, wenn man (iii) verwendet. Man schaue sich die Gleichung x + (−x) = 0 an, die ja nur die Definition von −x wiedergibt. Anders gelesen besagt sie doch aber auch, dass x ein Kandidat f¨ ur ein additiv inverses Element von −x ist, die Eindeutigkeit von Inversen f¨ uhrt dann zu −(−x) = x. −1 Analog folgt (x−1 ) = x aus x · x−1 = 1. Beachten Sie, dass wir nur wegen (v) −1 berechtigt sind, (x−1 ) zu betrachten. (vii) Es sei x · y = 0, wobei x = 0. h. y = 0. (viii) Diese Aussage l¨asst sich auf das Rechnen mit −1 zur¨ uckf¨ uhren: −(y − x) Def.

Fall 2: −x > 0. Diesmal multiplizieren wir die Ungleichung mit −x und erhalten (−x)2 = x2 > (−x) · 0 = 0. (viii) Wenn x > 0 ist, so d¨ urfen wir wegen (i) das Element x−1 betrachten. Mal angenommen, es w¨are x−1 < 0. Dann w¨ urde durch Multiplikation dieser Ungleichung mit x > 0 mit Hilfe von (iii) auch 1 < 0 folgen, was wegen (vii) nicht m¨oglich ist. Auch x−1 = 0 scheidet aus, denn das liefert nach Multiplikation mit x den Widerspruch 1 = 0. Fazit: Es bleibt nur x−1 > 0 u ¨brig. Der zweite Teil der Aussage wird genauso bewiesen.

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